幾何学U

授業科目区分

情報メディア学科
専門科目 数学系
選択 2単位 2年次 後期

教職課程(数学)選択/

担当教員

佐藤 元彦

履修に必要な予備知識や技能

特にないが、微分積分学I、微分積分学II、代数学I(特に体)、集合論入門の内容を前提とする。

履修条件

特にない。

その他この科目を履修するために必要な条件

特にない。

学習教育の目標

実数論および位相構造の入門講義。数学における基本的な構造の一つである位相構造の基礎を学ぶ。また、対象を公理的に理解すること、および、微分積分学の基礎を理解することを目標とする。

授業の簡単な概要

実数直線、距離空間、位相空間について講義する。特に、微分積分学の基礎となる収束・連続のイプシロン論法による定義や、中間値の定理・最大値最小値の存在定理の証明を行う。抽象的な概念に慣れると同時に、位相構造が果たす中学・高校数学への意味にも目を向けること。 微分積分学I、微分積分学II、代数学I(特に体)、集合論入門の内容を前提とする。

学習支援

質問やレポートを随時受け付ける。

オフィスアワー

学習内容

  1. 実数の公理: 実数の公理について学ぶ。また、絶対値の基本定性質を実数の公理のみを用いて証明する。
  2. 数列の収束と近傍: 数列が収束することのε-N法による定義を解説する。また、基本的な収束列の性質を証明する。
  3. コーシー列と完備性: 収束列がコーシー列であること、およびコーシー列が収束列であることについて学ぶ。
  4. 区間と有界閉集合: 実数直線における区間と有界閉集合の定義をする。
  5. 連続関数: 関数が連続であることのε-δ法による定義を解説する。また、基本的な連続関数の性質を証明する。
  6. 距離空間の定義と例: 距離空間を定義する。また、その例として、n次元ユークリッド空間、n次元球面、2次元トーラスについて学ぶ。
  7. 点列の収束と近傍: 距離空間における点列の収束を定義する。また、収束列の基本的性質を証明する。
  8. コーシー列と完備距離空間: 収束列とコーシー列の違いを考察したのち、実数直線やより一般にn次元ユークリッド空間の完備性について議論する。
  9. 開集合と閉集合: 距離空間における開集合と閉集合の基本的性質を証明する。
  10. 距離空間における連続写像: 距離空間における写像の連続を定義する。また、連続写像の基本的性質を証明する。
  11. 位相空間の定義と例: 位相空間の定義をする。また、距離空間との関係について学ぶ。
  12. 位相空間における連続写像: 位相空間における写像の連続を定義する。また、連続写像の基本的性質を証明する。 また、位相空間の同相について学ぶ。
  13. 連結集合と中間値の定理: 連結集合の定義したのち、中間値の定理を証明する。また、実数直線において連結集合と区間が同一であることを証明する。
  14. コンパクト集合と最大値最小値の存在定理: コンパクト集合を定義したのち、最大値最小値の存在定理を証明する。また、実数直線においてコンパクト集合と有界閉集合が同一であることを証明する。
  15. まとめ: 本講義のまとめを行う。

期末試験やレポートなどの留意事項

教科書

鎌田正良/集合と位相 現代数学ゼミナール8 近代科学社

参考書

松坂和夫/集合・位相入門 岩波書店 矢野公一/共立講座21世紀の数学4 距離空間と位相構造 共立出版

NDC

415

達成度評価(評価方法:合計100点)

試験:     80
レポート:   20
作品:     
成果発表:   
ポートフォリオ:
その他:

上記割合以外に注意すべき事項: