幾何学T

授業科目区分

情報メディア学科
専門科目 数学系
選択 2単位 2年次 前期

教職課程(数学)必修/

担当教員

安東 雅訓

履修に必要な予備知識や技能

微分積分学I,IIの履修しているのが望ましい。

履修条件

その他この科目を履修するために必要な条件

学習教育の目標

平面上の曲線、空間内の曲面の概念の基礎理論である初等微分幾何学を学ぶ

授業の簡単な概要

まずベクトルの微分・積分の考え方について解説する。平面上の曲線の曲率の概念および空間曲線の曲率の概念について解説する。後半では、Frenet-Serretの公式および全曲率について解説する。

学習支援

オフィスアワー

学習内容

  1. 位置ベクトルと速度ベクトル 動点の運動を位置ベクトルを用いて表わす時にベクトルの微分の表わす意味について解説する。
  2. 力のなす仕事 線積分の導出の意味に関して物理の仕事量の求め方を例にとり解説する。
  3. 1変数のベクトル関数の微分と積分 空間にいける曲線が1パラメータで表わされた空間べクトルとする。ベクトル関数の微分・積分の定義および意味について説明する。
  4. 2変数のベクトル関数の微分法 ベクトル値関数が2変数の場合の微分法について解説する。
  5. 曲線の概念 接線ベクトルと曲線の長さについて解説する。
  6. 平面曲線 平面座標を表わす曲線について一般化された定義について解説する。
  7. 曲線の曲率の幾つかの例 幾つかの曲率を求める例題を提示し問題演習を行う。
  8. ガウスの表示 曲率の意味の説明としてのガウスの表示(Gauss map)について解説する。
  9. 平面曲線の大域的性質I(閉曲線、四頂点定理) 7回、8回の講義では曲線の局所的な性質であるが、大域的な性質である閉曲線、卵形線の定義を紹介し、四頂点定理の証明を示す。
  10. 平面曲線の大域的性質II(閉曲線の回転数) 閉曲線の大域的な性質の回転数という概念について説明する。
  11. 全曲率について  全曲率(total curvature)の定義を説明し卵形線の幅についても解説する。
  12. 空間曲線の曲率  空間の曲線を表現する幾つかの概念、曲率、Frenetの標構、主法線、従法線の定義を説明する。
  13. Frenet-Serretの公式  Frenet-Serretの公式の証明と捩率の定義と平面との関係を説明する。
  14. 空間内の2曲線の一意性定理  Gaussの球面表示とBouquetの公式の証明を解説する。
  15. Fenchelの定理 Fenchelの定理の証明のアイディアについて解説する。

期末試験やレポートなどの留意事項

教科書

教科書は特に指定しない。

参考書

曲線と曲面の微分幾何  小林昭七著  掌華房

NDC

達成度評価(評価方法:合計100点)

試験:     80
レポート:   20
作品:     
成果発表:   
ポートフォリオ:
その他:

上記割合以外に注意すべき事項: